|
ДАНО: ΔABC; ∠C = 90°.
ДОКАЗАТЬ: АВ2=АС2+ВС2.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Для доказательства требуется выполнить дополнительное построение: из вершины прямого угла опустить перпендикуляр на гипотенузу (CD ⊥ AB).
Рассмотрим два прямоугольных треугольника, имеющих общий острый угол A (ABC и ACD). По определению косинуса угла
cos A = AD / AC = AC / AB
Рассмотрим пропорцию:
AD / AC = AC / AB
По основному свойству пропорции: AC2=AD*AB.
Из прямоугольных треугольников с общим острым углом B (ABC и BCD) по аналогии получим равенство: BC2=BD*AB.
Сложим два равенства почленно:
AC2+BC2=AD*AB+BD*AB.
Преобразуем равенство в тождественное:
AC2+BC2=AB*(AD+BD), но AD+BD=AB, следовательно, AC2+BC2=AB2, что и требовалось доказать.
СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ:
1. В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы. Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонная, то любая наклонная больше перпендикуляра.
2. Косинус угла меньше единицы для любого острого угла.
3. Для любого равнобедренного треугольника с основанием а и сторонами b высота h, проведенная к основанию, равна корню квадратному из разности квадратов боковой стороны и половины основания треугольника
4. Равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.
В следствие 4 наклонные следует рассматривать как гипотенузы двух прямоугольных треугольников, у которых одна общая сторона (высота третьего треугольника), а вторые катеты служат проекциями гипотенуз и являются взаимно дополняющими прямыми.
|
ДАНО: ΔABC; ∠C = 90°.
ДОВЕСТИ: АВ2=АС2+ВС2.
ДОКАЗ: Для доказу потрібно виконати додаткове побудова: з вершини прямого кута опустити перпендикуляр на гіпотенузу (CD ⊥ AB).
Розглянемо два прямокутних трикутника, мають загальний гострий кут A (ABC иACD). За визначенням косинуса кута
cos A = AD / AC = AC / AB
Розглянемо пропорцію:
AD / AC = AC / AB
За основним властивості пропорції: AC2=AD*AB.
З прямокутних трикутників із загальним гострим кутом B (ABC и BCD) за аналогією отримаємо рівність: BC2=BD*AB.
Складемо два рівності почленно:
AC2+BC2=AD*AB+BD*AB.
Перетворимо рівність у тотожне:
AC2+BC2=AB*(AD+BD), але AD+BD=AB, а значить, AC2+BC2=AB2, що і необхідно було довести.
НАСЛІДКИ ТЕОРЕМИ:
1. У прямокутному трикутнику будь який з катетів менше гіпотенузи. Якщо до прямої з однієї точки проведено перпендикуляр і похила, то будь-яка похила більше перпендикуляра.
2. Косинус кута менше одиниці для будь-якого гострого кута.
3. Для будь-якого рівнобедреного трикутника з основою а і сторонами b висота h, проведена до основи, дорівнює кореню квадратному з різниці квадратів бічної сторони і половини підстави трикутника
4. Рівні похилі мають рівні проекції, з двох похилих більше та, у якої проекція більше.
В наслідок 4 похилі слід розглядати як гіпотенузи двох прямокутних трикутників, у яких одна спільна сторона (висота третього трикутника), а другі катети служать проекціями гіпотенуз і є взаємно доповнюючими прямими.
|
