Описание курса Аксиомы планиметрии Аксиома принадлежности точек и прямых Аксиома расположения точек на прямой Аксиома про длину отрезков Аксиома расположения точек относительно прямой Аксиома свойств измерения углов Аксиома свойств откладывания отрезков Аксиома свойств откладывания углов Существование треугольника, равного данному Свойство параллельных прямых Точки, отрезки и прямые Геометрическое место точек. Метод геометрических мест Отрезки в координатной плоскости Прямые на координатной плоскости Пересекающиеся прямые Луч Векторы Центральная и осевая симметрия Угол. Углы на плоскости Вертикальные и смежные углы Биссектриса угла Биссектриса углов треугольника Биссектриса внешнего угла Биссектриса. Примеры решения задач Площадь геометрической фигуры Окружность. Уравнение окружности Задачи про окружность Хорда Эллипс Треугольник Высота треугольника Сумма углов треугольника Площадь треугольника Медиана треугольника Как найти длину медианы треугольника Нахождение площади через медианы Угол между высотой и медианой треугольника Медиана прямоугольного треугольника Подобие треугольников Простейшие задачи на подобие треугольников Подобие треугольников. Первый признак подобия Подобие треугольников. Третий признак подобия Подобие треугольников. Использование в задачах Прямоугольный треугольник Прямоугольный треугольник Биссектриса в прямоугольном треугольнике Высота в прямоугольном треугольнике Высота в прямоугольном треугольнике (Часть 2) Теорема Пифагора и ее доказательство Применение теоремы Пифагора Гипотенуза прямоугольного треугольника Перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника Равнобедренный треугольник Равнобедренный треугольник Рівнобедрений трикутник Площадь равнобедренного треугольника Площа рівнобедреного трикутника Углы равнобедренного треугольника Высота равнобедренного треугольника Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник Окружность, описанная вокруг треугольника Окружность, описанная вокруг треугольника Окружность, описанная вокруг треугольника (часть 2) Вписанная в треугольник окружность Четырехугольник Существование четырехугольника с заданными сторонами Периметр четырехугольника Окружности, вписанные и описанные вокруг четырехугольника Углы четырехугольника Правильный четырехугольник (квадрат). Правильний чотирикутник (квадрат) Ромб Трапеция Площадь трапеции Высота трапеции Трапеция (задачи про основания) Диагонали трапеции Прямоугольная трапеция Равнобокая (равнобедренная) трапеция Углы равнобокой (равнобедренной) трапеции Высота равнобедренной трапеции Равнобокая трапеция Равнобокая трапеция (часть 2) Трапеция, описанная вокруг окружности Параллелограмм Параллелограмм. Задачи про площадь и стороны Параллелограмм (часть 2) Площадь параллелограмма Высота параллелограмма Прямоугольник Периметр прямоугольника Периметр и площадь прямоугольника Тригонометрия Синус Теорема синусов Задачи на решение с помощью теоремы синусов Теорема синусов (часть 2) Косинус Основное свойство функции косинуса Теорема косинусов и ее доказательство Теорема косинусов. Пример решения задачи Тангенс и его свойства Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике Тригонометрический круг Радианы и градусы. Радiани i градуси Таблица значений тригонометрических функций Синус, ко синус, тангенс угла 15 градусов (sin 15 cos 15 tg 15) Синус, косинус и тангенс угла 30 градусов (sin cos tg 30) - таблица значений Синус, косинус, тангенс угла 45 градусов (sin 45, cos 45, tg 45) Синус, косинус, тангенс угла 30 и 60 градусов (sin cos tg 30 и 60) Синус, косинус, тангенс угла 105 градусов (sin 105 cos 105 tg 105) Синус, ко синус, тангенс угла 120 градусов (sin 120 cos 120 tg 120) Тригонометрические тождества и преобразования Пояснение (доказательство) простейших тригонометрических тождеств Преобразования тригонометрических функций вида (α + a/bπ) и доказательство Тригонометрические формулы понижения степени sin cos tg Косинус двойного угла Многоугольники Правильный многоугольник Шестиугольник и его свойства Сумма углов многоугольника Стереометрия Прямые и плоскости Параллельность плоскостей. Свойства и признаки параллельности. Параллельные плоскости Перпендикулярные плоскости Прямые на плоскости Точка и плоскость Отрезок, пересекающий плоскость Наклонная из точки к плоскости Параллелограмм, рассеченный плоскостью Параллелограмм и плоскость Перпендикуляр к квадрату Перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника Призма. Параллелепипед. Куб. Решение задач Объем призмы Площадь боковой поверхности призмы Прямая призма Правильная четырехугольная призма Куб Диагональное сечение правильной призмы Параллепипед Площадь поверхности и объем параллелепипеда Призма с треугольником в основании Призма с правильным треугольником в основании Призма с правильным треугольником в основании (часть 2) Призма с треугольником в основании ( часть 2) Призма с треугольником в основании ( часть 3) Параллелограмм в основании призмы Ромб в основании призмы Пирамида. Решение задач С треугольником в основании Пирамида с прямоугольным треугольником в основании Пирамида с равнобедренным треугольником в основании Правильная треугольная пирамида (правильная пирамида с треугольником в основании) Периметр основания правильной треугольной пирамиды Объем правильной треугольной пирамиды Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды Правильный тетраэдр Задачи про Тетраэдр Пирамида и вписанный конус Правильная пирамида Апофема правильной пирамиды Объем правильной усеченной пирамиды Правильная пирамида с четырехугольником в основании Задачи про правильную четырехугольную пирамиду Нахождение боковой поверхности и высоты правильной пирамиды с четырехугольником в основании Правильная пирамида с четырехугольником в основании (часть 3) Нахождение углов пирамиды Нахождение величины наклона боковых граней правильной прамиды Нахождение расстояний в правильной четырехугольной пирамиде С четырехугольником в основании Пирамида Неправильная пирамида с прямоугольником в основании Неправильная пирамида с четырехугольником в основании Сфера. Шар. Куля Сфера (Шар) Площадь сферы Полусфера Соотношение объема шара и конуса Цилиндр Задачи про цилиндр со вписанной призмой Цилиндр и его сечения Цилиндр и его сечения (квадрат и вписанный куб) Осевое сечение цилиндра Площадь поверхности цилиндра Конус Конус Площадь боковой поверхности конуса Объем конуса Объем конуса (2)

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа "квадратный корень" применяется функция sqrt(), в которой sqrt - символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Задача Длина стороны ромба ABCD равна 5 см, длина его диагонали BD равна 6 см. Через точку О, которая является точкой пересечения диагоналей ромба, проведена прямая OK, перпендикулярная его плоскости. Найти расстояние от точки К до вершин ромба (КА, КВ, КС, КD) если ОК = 8см. Решение. В результате построения геометрической фигуры по условию задачи, заметим, что у нас получилась пирамида, в основании которой лежит ромб. Нам необходимо найти величину ребер пирамиды, которые прилегают к ее вершине. Поскольку диагонали ромба делятся в точке пересечения пополам, то BO равно половине диагонали BD. BO = BD / 2 = 6 / 2 = 3 см Поскольку OK по условию задачи является перпендикуляром к плоскости основания пирамиды, то треугольник BOK является прямоугольным. Отсюда, по теореме Пифагора находим величину ребра BK. BK2 = BO2 + OK2 BK2 = 32 + 82 BK2 =73 BK = sqrt (73), то есть корень квадратный из 73 Поскольку треугольники BKO и DKO равны по двум сторонам и углу (KO - общая сторона треугольников, BO=OD как половины диагонали ромба, а прямой угол образован перпендикуляром по условию задачи), то ребро BK = BD. Вычислим длину ребра AK. Поскольку диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то зная величину половины одной диагонали и стороны ромба, несложно определить величину половины другой диагонали, то есть: AB2 = BO2 + AO2 52 = 32 + AO2 AO2 = 52 - 32 AO2 = 16 AO = 4 Аналогичным способом теперь найдем длину ребра AK AK2 = AO2 + OK2 BK2 = 42 + 82 BK2 = 80 BK = 4 sqrt( 5 ), четыре квадратных корня из пяти Поскольку треугольники AOK и COK также равны по двум сторонам и углу, то AO = CO. Ответ: AO и CO равны четыре квадратных корня из пяти, а BO и DO равны корню квадратному из 73 Задача Высота четырехугольной пирамиды равна 4см. а её апофема создаёт с высотой угол 45 градусов.Найдите боковую поверхность пирамиды. Решение. Исходя из того, что по условию задачи любая апофема создаёт с высотой угол 45 градусов, то пирамида является правильной. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды - S = 1/2 Pa, где P - периметр основания, a - апофема боковой грани. Апофема образует с высотой пирамиды и отрезком, проведенным из точки пересечения высоты и основания на сторону основания прямоугольный треугольник. Это следует из определения высоты пирамиды - она образует с плоскостью основания прямой угол. Данный треугольник является равнобедренным, поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусам, один из углов прямой, тогда 180 - 90 - 45 = 45. Поскольку оба угла равны - треугольник равнобедренный. Таким образом, длина стороны основания равна удвоенной высоте пирамиды (треугольник равнобедренный, поэтому второй катет равен высоте пирамиды, а он же равен половине стороны, поскольку пирамида является правильной). Исходя из того, что оба катета треугольника, образованного высотой пирамиды и отрезком, проведенным к боковой грани равны, то по теореме Пифагора апофема пирамиды равна a = sqrt( 42 + 42 ) = sqrt( 32 ) = 4 sqrt( 2 ) , четыре корня из двух Периметр равен 4 * 2 * 4 = 32 см, таким образом S = 1/2 Pa = 1 / 2 * 32 * 4 sqrt( 2 ) = 64 sqrt( 2 ) , 64 корня из двух Ответ: 64 корня из двух Задача Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 24 см,а боковое ребро равно 26 см. Найти: а) площади диагонального сечения пирамиды б) сторону основания пирамиды в) площадь боковой поверхности пирамиды. Решение. Поскольку пирамида правильная, то диагональ основания вместе с соответствующими двумя ребрами пирамиды образуют равнобедренный треугольник, площадь которого будет равна площади диагонального сечения пирамиды. Его площадь можно найти по формуле Герона: S = 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) ) S = 1/4 sqrt( ( 26 + 26 + 24 )( 26 + 24 - 26 )( 26 + 24 - 26 )( 26 + 26 - 24 ) ) S = 1/4 sqrt( 76 * 24 * 24 * 28 ) = 1/4 sqrt( 1225728 ) ≈ 276, 78 см2 . Поскольку пирамида правильная, то ее диагональ образует с двумя сторонами основания равнобедренный прямоугольный треугольник. Если обозначить сторону основания как а, то по теореме Пифагора а2 + а2 = 242 2а2 = 576 а2 = 288 а = sqrt( 288 ) ≈ 16.97 см Площадь боковой поверхности пирамиды будет равна сумме площадей поверхностей боковых граней, каждая из которых по формуле Герона имеет площадь S = 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c) ) S = 1/4 sqrt( ( 26 + 26 + sqrt(288) )( 26 + sqrt(288) -26 )( 26 + sqrt(288) -26 )( 26 + 26 - sqrt(288) ) ) S = 1/4 sqrt( 695808 ) ≈ 208.54 см2 . То есть площадь боковой поверхности будет равна 4S = sqrt( 695808 ) ≈ 208.54 см2 . Ответ: 1/4 sqrt( 1225728 ) см2 , sqrt( 288 ) см, sqrt( 695808 ) см2 . 0    С четырехугольником в основании | Описание курса | Неправильная пирамида с прямоугольником в основании

Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Нужна информация (помогите решить)