МЕДИАНА ТРЕУГОЛЬНИКА
Слово «медиана» переводится как «равноделящая сторону». Чтобы построить медиану, надо середину стороны треугольника соединить отрезком с противолежащей вершиной треугольника. Полученный отрезок и есть медиана треугольника.
![Медиана CK произвольного треугольника ABC, которая опущена на сторону AB Медиана CK произвольного треугольника ABC, которая опущена на сторону AB](/upload/medialibrary/f39/Mediana.jpg)
Медиана треугольника – отрезок, проведенный из вершины треугольника, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника.
На рисунке красным цветом обозначена медиана CK. При этом она делит сторону AB треугольника пополам, AK = KB.
Свойства медианы треугольника
Все медианы треугольника пересекаются в одной точке, расположенной в плоскости треугольника и являющейся его центром тяжести.
![Произвольный треугольник с обозначенным на нем центром пересечения медиан, который называется центром тяжести (центроидом) треугольника Произвольный треугольник с обозначенным на нем центром пересечения медиан, который называется центром тяжести (центроидом) треугольника](/upload/medialibrary/e06/Mediana2.jpg)
Для определения этой точки достаточно построить две медианы треугольника, и точка их пересечения будет принадлежать третьей медиане этого треугольника.
-
Точкой пересечения медиан треугольника каждая медиана делится в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Т.е. длина отрезка медианы от вершины треугольника до точки пересечения медиан составляет 2/3 всей ее длины, а от точки пересечения медиан до стороны треугольника - 1/3 ее длины.
-
Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
-
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
-
Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.
-
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
-
Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
-
У равнобедренного треугольника медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию треугольника, совпадают.
-
У равностороннего треугольника все три «замечательные» линии (высота, биссектриса и медиана) совпадают и три «замечательных» точки (точки ортоцентра, центра тяжести и центра вписанной и описанной окружностей) находятся в одной точке пересечения «замечательных» линий, т.е. тоже совпадают.
Средняя линия треугольника
Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией.
![Средняя линия треугольника соединяет две точки концов медиан, лежащих на сторонах треугольника Средняя линия треугольника соединяет две точки концов медиан, лежащих на сторонах треугольника](/upload/medialibrary/99e/MidleLine.jpg)
Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.
Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.
Формулы медианы произвольного треугольника
![Медианы, проведенные к сторонам произвольного треугольника с обозначением символами длины каждого отрезка Медианы, проведенные к сторонам произвольного треугольника с обозначением символами длины каждого отрезка](/upload/medialibrary/aa3/Mediana3.jpg)
![Формулы расчета длины медианы произвольного треугольника через длины его сторон и других медиан. Формулы нахождения площади треугольника через медианы и стороны через медианы Формулы расчета длины медианы произвольного треугольника через длины его сторон и других медиан. Формулы нахождения площади треугольника через медианы и стороны через медианы](/upload/medialibrary/e0d/medianaTriangle.gif)
- Длина медианы, проведенной к стороне произвольного треугольника равна половине квадратного корня из удвоенной суммы квадратов двух других сторон из которой вычтен квадрат стороны, к которой проведена медиана (Формула 1)
- Сумма квадратов медиан треугольника равна 3/4 суммы квадратов его сторон (Формула 2)
- Длина стороны треугольника равна 2/3 квадратного корня из удвоенной суммы квадратов медиан, проведенных к двум другим его сторонам за вычетом квадрата медианы, проведенной к искомой стороне (Формула 3)
- Площадь треугольника можно найти через длины его медиан, используя значение полусуммы длин медиан (Формулы 4 и 5)
Площадь треугольника |
Описание курса
| Как найти длину медианы треугольника
|