См. также биссектриса угла.

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

У биссектрис угла треугольника есть масса свойств, которые описываются через свойства треугольника. Это поможет в решении задач.

Свойства биссектрис треугольника

• Биссектриса треугольника, проведенная из данной вершины, тождественна биссектрисе соответствующего угла. Биссектриса угла треугольника, выходящая из его вершины, делит этот угол треугольника пополам 

• Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая расположена всегда в плоскости треугольника и является центром вписанной окружности. Примечание. Имеются ввиду биссектрисы внутренних углов треугольника.
  
  

• Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины
  
  
• Биссектриса  любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам треугольника
  
• Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
• Угол между биссектрисами двух смежных углов (между внутренними и внешними биссектрисами углов треугольника при одной вершине) равен 90 градусам
  
  

Свойства биссектрис равнобедренного треугольника

• У равнобедренного треугольника медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию треугольника, совпадают
  

• Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой того угла, из которого она выходит.

• В равнобедренном треугольнике две биссектрисы равны, а третья биссектриса является его медианой и высотой
  
  

• Одна и только одна биссектриса внешнего угла неравностороннего треугольника может быть параллельна противоположной стороне — основанию, если треугольник равнобедренный
  

Свойства биссектрис равностороннего треугольника

• У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам

• У равностороннего треугольника все три внутренние биссектрисы равны
  
• У равностороннего треугольника все три «замечательные» линии (высота, биссектриса и медиана) совпадают и три «замечательных» точки (точки ортоцентра, центра тяжести и центра вписанной и описанной окружностей) находятся в одной точке пересечения «замечательных» линий, т.е. тоже совпадают.
  

Формулы нахождения биссектрисы угла

a, b, c - стороны треугольника, при этом биссектриса проведена из угла, находящегося между сторонами a, b
α,β,γ - углы треугольника, противолежащие сторонам a,b,c соответственно
p - полупериметр треугольника (половина суммы всех его сторон)
c_a, c_b - отрезки, на которые биссектрисой, проведенной из угла c разбита сторона c

l_c - длина биссектрисы, проведенной к стороне c из угла γ.

Длина биссектрис треугольника может быть выражена через равенство с квадратом суммы всех его сторон.

Формулы нахождения расстояния от угла до точки пересечения биссектрис

где

l_co - длина отрезка, лежащего на биссектрисе от вершины угла до центра пересечения биссектрис
r - радиус окружности, вписанной в треугольник
R - радиус описанной окружности
a, b, c - стороны треугольника, при этом биссектриса проведена из угла, находящегося между сторонами a, b
γ - угол треугольника, противолежащий стороне c 
p - полупериметр треугольника (половина суммы всех его сторон) 

Примеры решения задач

Примечание. В данном уроке изложены задачи по геометрии о биссектрисе. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен.