Окружность, описанная вокруг четырехугольника

Задача.

Можно ли описать окружность вокруг четырехугольника, если его углы, расположенные последовательно, равны 138, 44, 52, 126 градусов?

Решение.

Для решения задачи воспользуемся теоремой об углах четырехугольника, и окружности, описанной вокруг него, которая гласит: "Сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 180 градусам". Или другие формулировки: "Сумма противолежащих углов вписанного в окружность четырехугольника равна 180 градусам" или "Сумма противолежащих углов четырехугольника, вокруг которого описана окружность, равна 180 градусам".

Поскольку нам дана четкая последовательность углов, то они разбиваются на пары 138 и 52, а также 44 и 126 градусов. Если вокруг данного четырехугольника можно описать окружность, то сумма каждой пары должна составить 180 градусов.

44 + 126 = 170

138 + 52 = 190

Таким образом, вокруг данного четырехугольника невозможно описать окружность.

Ответ: нет

Задача.

В окружность вписан прямоугольник со сторонами 32см и 24см. Найдите радиус окружности.

Решение.

Центр окружности, описанной вокруг прямоугольника лежит на пересечении диагоналей. Точка пересечения диагоналей делит их пополам.

Стороны прямоугольника образуют с диагональю прямоугольный треугольник. Таким образом, по теореме Пифагора, длина диагонали прямоугольника будет равна:

d ² = 32² + 24²

d ² = 1600

d = 40

Таким образом, центр описанной окружности вокруг прямоугольника лежит на середине диагонали, значит R = 40 / 2 = 20

Ответ: Радиус описанной вокруг прямоугольника окружности равен 20 см.