Задача.

В правильной треугольной пирамиде угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60 градусов. Найти боковую поверхность вписанного в пирамиду конуса, если расстояние от основания высоты до середины бокового ребра равно корень из 7.

Решение.

Пусть нам дана правильная пирамида с треугольником ABC в основании и вершиной K

Из вершины К опустим высоту, которая пересечет основание в точке О.

Из вершины бокового ребра опустим высоту KN.

По условию задачи, отрезок OM равен √7.

Поскольку KO - высота, то треугольник KON - прямоугольный, а OM -является медианой прямоугольного треугольника.

Согласно свойствам прямоугольного треугольника, его медиана, опущенная на гипотенузу, равна радиусу описанной окружности и, одновременно, половине гипотенузы.

Таким образом:

OM = ON = √7

Соответственно, высота ребра равна 2√7

Поскольку угол ONM = 60º, а треугольник KON - прямоугольный, то

ON / KN = cos 60

По таблице значений тригонометрический функций найдем значение косинуса 60 градусов. Он равен 1/2.

Откуда

OK = KN x cos 60 = 2√7 x 1/2 = √7

Вписанный в данную пирамиду конус будет иметь длину образующей, равной высоте ребра пирамиды, а радиус, равный радиусу вписанной окружности.

Соответственно, площадь боковой поверхности конуса равна:

S = πRl

S = π * √7 * 2√7 = 14π

Ответ: площадь боковой поверхности конуса, вписанного в заданную пирамиду, равна 14π