Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия). Если Вам необходимо решить задачу по геометрии,
которой здесь нет - пишите об этом в форуме. 

Задача. Осевое сечение цилиндра - квадрат, диагональ которого равна 4 см. Найдите объем цилиндра

1. Найти длину стороны квадратного сечения:
   • Диагональ квадрата равна 4 см.
   • Для квадрата соотношение между длиной стороны a и диагональю d определяется формулой:


• Решая для a:
a = d / √2 = 4 / √2 = 2√2 см


2. Определить радиус цилиндра:

   • Длина стороны квадрата равна диаметру основания цилиндра.
   • Следовательно, радиус rr цилиндра:
r = a / 2 = 2√2 / 2 = √2 см

3. Найти высоту цилиндра:
   • Высота h цилиндра равна длине стороны квадратного сечения (стороне квадрата):
h=2√2 см

4. Вычислить объем цилиндра:
   • Объем V цилиндра определяется формулой:


• Подставляя значения:

Таким образом, объем цилиндра составляет 4√2π см³.

Задача.
Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения, равная 8см,
составляет с образующей цилиндра угол величиной 30 градусов.

Решение.

Поскольку AC = 8 см, а угол ACD = 30°, то
CD = AC cos 30°

Пояснение. Треугольник ACD - прямоугольный. Соответственно, CD / AC = cos ∠ACD по свойству тригонометрических функций
в прямоугольном треугольнике. Значение cos 30 найдем из таблицы значений тригонометрических функций.

CD = 8 * √3/2 = 4√3

Аналогично,
AD = AC sin 30°
AD = 8 * 1/2 = 4

Откуда радиус основания цилиндра равен 4/2 = 2 см

Площадь основания цилиндра, соответственно, равна
S₁ = πR² = 4π

Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развертки - произведению длины окружности основания и высоты цилиндра.
То есть:
S₂ = 2πRh = 2π * 2 * 4√3  = 16π√3

Общая площадь поверхности цилиндра равна:
S₁ + S₂ =   4π +  16π√3   

Ответ:  4π +  16π√3