Теорема косінусів формулюється так: квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку
цих сторін на косинус кута між ними.

Завдання

Одна зі сторін трикутника більша за іншу на 8 сантиметрів, а кут між ними дорівнює 120 градусам. Знайдіть периметр трикутника,
якщо довжина третьої сторони дорівнює 28 см.

Рішення.

Позначимо одну із сторін трикутника як x, тоді величина іншої дорівнює x+8 см.

Виходячи з теореми косінусів, отримаємо:

28² = x² + (x+8)²-2x(x+8)cos120^o
784 = x² + x² +16x + 64 - 2x(x+8)(-0,5)
784 = 2x²+16x + 64 + x(x+8)
720 = 3x² + 16x + 8x
3x² + 24x +720 = 0
D=9216
x₁=((-24)+96)/6=12 (другий корінь є негативним числом і не має сенсу в рамках розв'язання задачі)

Таким чином, периметр трикутника P=12+(12+8)+28 = 60 см.

Відповідь: 60 см

Завдання

У трикутнику АВС сторона АС дорівнює 7√3 см, сторона ВС дорівнює 1 см. Кут С дорівнює 150 градусів. Знайти довжину сторони АВ.

Рішення.
Застосуємо теорему косінусів та відповідну формулу (див. вище)
AB²  = (7√3)² + 1²  - 2 (7√3) cos 150º

Значення косинуса 150 градусів знайдемо за таблицею значень тригонометричних функцій.
AB² = 147 + 1 - 14√3 (-√3/2) 
AB² = 148 + 21 = 169
AB = 13

Відповідь: 13 см