Прямі та площини в стереометрії

Стереометрія — це розділ геометрії, що вивчає фігури в тривимірному просторі. Основними елементами стереометрії є точки, прямі та площини.
Розуміння їх властивостей і взаємного розташування — ключ до вивчення складних просторових конструкцій.

Пряма в просторі

Пряма — це нескінченний односпрямований об'єкт, повністю визначений двома точками. У просторі пряма може займати різні положення відносно інших
 прямих і площин. Основні властивості та поняття:

Задання прямої: Пряма в просторі задається:

• Двома точками, що належать їй.
• Рівнянням прямої в параметричній або канонічній формі.

Взаємне розташування прямих:

• Перетинаються: Прямі мають одну спільну точку.
• Паралельні: Прямі не перетинаються і знаходяться в одній площині.
• Скрещуються: Прямі не перетинаються і не лежать в одній площині.

Площина в просторі

Площина — це нескінченна двовимірна множина точок. Вона може бути визначена кількома способами:

• Трьома точками, що не лежать на одній прямій.
• Прямою і точкою, що не належить цій прямій.
• Двома пересічними або паралельними прямими.

Рівняння площини: Площину в просторі можна задати рівнянням виду:

де A, B, C — коефіцієнти, що визначають напрямок нормального вектора площини, а D — вільний член.

Взаємне розташування прямих і площин

Взаємне розташування прямої і площини може бути таким:

• Пряма лежить у площині: Всі точки прямої належать площині.
• Пряма перетинає площину: Пряма має одну спільну точку з площиною.
• Пряма паралельна площині: Пряма не перетинає площину.

Для двох площин можливі такі варіанти:

• Перетинаються: Площини перетинаються по прямій.
• Паралельні: Площини не мають спільних точок.
• Співпадають: Площини повністю накладаються одна на одну.

Кути в стереометрії

Стереометрія також вивчає кути між:

• Прямими: Кут між пересічними прямими визначається як кут між їх напрямними векторами.
• Прямою і площиною: Це кут між прямою і її ортогональною проекцією на площину.
• Площинами: Кут між площинами дорівнює куту між їх нормальними векторами.

Основні теореми

• Аксіома площини: Через три точки, що не лежать на одній прямій, проходить єдина площина.
• Теорема про паралельність: Якщо дві прямі паралельні, то площина, що проходить через одну з них, буде паралельна іншій.
• Теорема про перетин: Якщо дві площини перетинаються, їх лінія перетину — це пряма.

Додаткові поняття

Вектори в стереометрії

Вектори є важливим інструментом у стереометрії для опису напрямків і величин. Вектор можна задати координатами його кінцевих точок або через
його компоненти.

Координатна система

Для зручності роботи з просторовими фігурами використовують тривимірну координатну систему, яка дозволяє однозначно визначати положення точок
у просторі.

Об'єми і площі поверхонь

Стереометрія також вивчає об'єми і площі поверхонь тривимірних фігур, таких як куби, паралелепіпеди, піраміди, циліндри, конуси і сфери.
Формули для обчислення об'ємів і площ поверхонь є важливими для практичних застосувань у різних галузях.