Синус, косинус і тангенс кута 105 градусів

Як знайти значення тригонометричних функцій для кута 105 градусів

Знайдемо значення синуса, косинуса і тангенса для кута 105 градусів аналітичним способом.
На перший погляд, знаходження значень синуса, косинуса і тангенса для кута 105 градусів - завдання складне. Однак, це не зовсім так.
Перш за все, ми повинні звернути увагу, що для кутів, значення яких перевищують 90 градусів, у нас є формули приведення до кута, меншому 90 градусів.

Тому, для початку, уявімо собі кут в 105 градусів як (90 + 15)
тоді:
sin ( 90 + α ) = cos α
sin 105 = sin( 90 + 15 ) = cos 15

cos ( 90 + α ) = - sin α
cos 105 = cos( 90 + 15 ) = -sin 15

tg ( 90 + α ) = -ctg α
tg 105 = tg( 90 + 15 ) = -ctg 15

Примітка. Вже на даному етапі можна подивитися значення в таблицях синуса, косинуса і тангенса 105 градусів, який перетворений в значення тригонометричних функцій синуса, косинуса і тангенса кута 15 градусів. Але, уявімо собі, що ми теж їх не знаємо.

Тому, на даному етапі нам на допомогу прийдуть формули перетворення подвійного кута тригонометричних функцій.
Справа в тому, що ми можемо уявити кут в 30 градусів, як подвійний кут 15 градусів (2 * 15).

Тоді, відштовхуючись від тотожності:
cos 2α = 1 - 2sin²α

Приймаємо подвійний кут як 2 * 15 градусів, тоді
cos 30 = 1 - 2sin²15
sin²15 = ( 1 - cos 30 ) / 2

Значення косинуса для кута 30 градусів легко обчислити. Воно дорівнює √3/2
sin²15 = ( 1 - √3/2 ) / 2
sin 15 = √ (( 1 - √3/2 ) / 2 )

cos 105 = - sin 15 
cos 105 = - √ (( 1 - √3/2 ) / 2 )

шляхом нескладних агебраіческіх перетворень отримуємо:

Як видно з прикладу, значення тригонометричних функцій кутів синуса, косинуса і тангенса 105 градусів можуть бути отримані шляхом нескладних тригонометричних перетворень з використанням тригонометричних тотожностей перетворень подвійних кутів і половин заданих кутів.

Див. Також повну таблицю значень тригонометричних функцій (в таблицях синуса, косинуса і тангенса).

Нижче наведені також значення тригонометричних функцій для кута 105 градусів у вигляді десяткового дробу з чотирма знаками після коми.

5π/12	синус 105  sin 105	косинус 105 cos 105	тангенс 105 tg 105	котангенс 105 ctg 105
Значення	0,9659	-0,2588	-3,7321	-0,2679