См. також биссектриса угла.

Бісектриса кута трикутника

Бісектриса трикутника - відрізок бісектриси кута, що з'єднує вершину цього кута з точкою на протилежній стороні.

У биссектрис кута трикутника є маса властивостей, які описуються через властивості трикутника. Це допоможе у вирішенні завдань.

Властивості биссектрис трикутника

• Бісектриса трикутника, проведена з даної вершини, тотожна бісектрисі відповідного кута. Бісектриса кута трикутника, що виходить з його вершини, ділить цей кут трикутника навпіл 

• Всі три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, яка розташована завжди в площині трикутника і є центром вписаного кола. Примітка. Маються на увазі бісектриси внутрішніх кутів трикутника. 
  
  

• Кожна бісектриса трикутника ділиться точкою перетину биссектрис щодо суми прилеглих сторін до протилежної, починаючи з вершини
  
  
• Бісектриса будь-якого внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на частини, пропорційні сторонам трикутника
• Бісектриси одного внутрішнього і двох зовнішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці. Ця точка - центр однієї з трьох вневпісанних кіл цього трикутника.
• Кут між биссектрисами двох суміжних кутів (між внутрішніми і зовнішніми биссектрисами кутів трикутника при одній вершині) дорівнює 90 градусам
• 
  

Властивості биссектрис рівнобедреного трикутника

• У рівнобедреного трикутника медіана, бісектриса і висота, проведені до основи трикутника, збігаються

• Якщо в трикутнику дві бісектриси рівні, то трикутник - рівнобедрений (теорема Штейнера - ЛЕМУС), і третя бісектриса одночасно є медіаною і висотою того кута, з якого вона виходить.
  

• У трикутник дві бісектриси рівні, а третя бісектриса є його медіаною і висотою
  

• Одна і тільки одна бісектриса зовнішнього кута нерівностороннього трикутника може бути паралельна протилежній стороні - основі, якщо трикутник рівнобедрений
  

Властивості биссектрис рівностороннього трикутника

• У рівностороннього трикутника всі три бісектриси зовнішніх кутів паралельні протилежним сторонам
• У рівностороннього трикутника всі три «чудові» лінії (висота, бісектриса і медіана) збігаються і три «чудових» точки (точки ортоцентра, центру ваги і центру вписаного і описаного кіл) знаходяться в одній точці перетину «чудових» ліній, тобто теж збігаються
  
• У рівностороннього трикутника всі три внутрішні бісектриси рівні

Формули знаходження бісектриси кута

a, b, c - сторони трикутника, при цьому бісектриса проведена з кута, що знаходиться між сторонами a, b

α, β, γ - кути трикутника, протилежні боки a, b, c відповідно

p - напівпериметр трикутника (половина суми всіх його сторін)

c_a, c_b - відрізки, на які биссектрисой, проведеної з кута c розбита сторона c

l_c - довжина бісектриси, проведеної до сторони c з кута γ.

Довжина биссектрис трикутника може бути виражена через рівність з квадратом суми всіх його сторін.

Формули знаходження відстані від кута до точки перетину биссектрис

где

l_co - довжина відрізка, що лежить на бісектрисі від вершини кута до центру перетину биссектрис
r -радіус кола, вписаного в трикутник 
R - радіус описаного кола 
a, b, c - сторони трикутника, при цьому бісектриса проведена з кута, що знаходиться між сторонами a, b 
γ - кут трикутника, протилежний стороні c 
p - напівпериметр трикутника (половина суми всіх його сторін)

Завдання про доказ рівності кутів на підставі властивостей бісектриси.

Луч AD є бісектрисою кута A. На сторонах кута A відзначені точки B, C так що кут ADC дорівнює куту ADB. 

Довести, що AB = AC.