Завдання 1. Знайти об'єм піраміди

1. Знайдемо сторону основи піраміди:

   • Основою правильної чотирикутної піраміди є квадрат.
   • Діагональ квадрата d пов'язана зі стороною aa формулою: d=a√2
   • Діагональ d = 4 см, отже:
4 = a√2 ⟹ a = 4 / √2 =2√2 см

2. Знайдемо висоту бічної грані піраміди:
   • Висота бічної грані h_b утворює з основою кут 60 градусів.
   • Висота бічної грані h_b є гіпотенузою прямокутного трикутника, де одна з катетів дорівнює половині сторони основи a/2,
     а інша катета - висота піраміди h.
   • Використовуємо тригонометричну функцію косинуса:
cos ⁡60°=( a/2 ) / h_b
1/2=2√2/2 / h_b
h_b= 2√2

3. Знайдемо висоту піраміди:
   • Використовуємо тригонометричну функцію синуса:
sin⁡60°=h / h_b
√3/2 = h / 2√2
h = 2√2⋅ √3/2 =√6 см

4. Знайдемо об'єм піраміди:
   • Об'єм піраміди V обчислюється за формулою:

• Площа основи Sосн квадрата зі стороною a=2√2:

• Отже, обсяг піраміди:

Відповідь: Обсяг піраміди дорівнює 8√6 / 3 см³.

Завдання 2

Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює a. Двогранні кути при основі дорівнюють α.
Знайти площу повної поверхні піраміди.

Рішення: 

Щоб знайти площу повної поверхні правильної чотирикутної піраміди, потрібно знайти площу її основи та площу всіх бічних граней.

1. Площа основи: Основою правильної чотирикутної піраміди є квадрат зі стороною aa. Площа квадрата обчислюється за формулою:

Sоснови = a²


2. Площа бічних граней: Кожна бічна грань правильної чотирикутної піраміди є рівнобедреним трикутником. Висота цих трикутників
   опускається з вершини піраміди на середину сторони основи. Позначимо висоту трикутника як h_b.

   Висоту h_b можна знайти за допомогою двогранного кута α при основі. Висота трикутника буде дорівнювати:

h_b = a / 2⋅cos⁡(α)


Площа одного трикутника обчислюється за формулою:

Sтрикутника=1/2⋅a⋅h_b=1 / 2⋅a⋅( a / 2⋅cos⁡(α) )=a²⋅cos⁡(α) / 4


Оскільки піраміда має чотири бічні грані, загальна площа бічних граней буде:

Sбічних=4⋅Sтрикутника=4⋅a²⋅cos⁡(α) / 4= a²⋅cos⁡(α)


3. Площа повної поверхні: Площа повної поверхні піраміди дорівнює сумі площі основи та площі бічних граней:

Отже, площа повної поверхні правильної чотирикутної піраміди дорівнює a²(1+cos⁡(α))