Нерівність – це математичний вираз, який показує співвідношення між двома величинами, використовуючи знаки "більше" (>), "менше" (<),
"більше або дорівнює" (≥) і "менше або дорівнює" (≤). Вона може використовуватися для визначення діапазону можливих значень змінної та
широко застосовується в алгебрі, аналізі, економіці й фізиці.

Основні властивості нерівностей:

1. Рефлексивність: будь-яке число завжди дорівнює самому собі, а нерівність виду a ≥ a завжди істинна.

2. Транзитивність: якщо a > b і b > c, то a > c.

3. Антисиметричність: якщо a ≥ b і b ≥ a, то a = b.

4. Адитивна властивість: якщо a > b, то a + c > b + c (можна додавати однакові числа до обох частин нерівності, і знак не зміниться).

5. Мультиплікативна властивість: якщо a > b і c > 0, то ac > bc; якщо c < 0, то знак нерівності змінюється: ac < bc.

Основні правила перетворення нерівностей:

1. Додавання і віднімання: Можна додавати або віднімати одне й те саме число з обох сторін нерівності, при цьому знак не змінюється.
   Приклад: якщо x + 3 > 5, то x > 2.

2. Множення і ділення: Можна множити або ділити обидві сторони нерівності на одне й те саме додатне число без зміни знака. Однак, якщо
   множити або ділити на від'ємне число, знак нерівності змінюється на протилежний.
   Приклад: якщо -2x ≤ 6, то x ≥ -3 (ділимо обидві сторони на -2 і змінюємо знак).

3. Застосування функцій: При монотонному зростанні функції знак нерівності зберігається, а при монотонному спаданні – змінюється
   на протилежний.
   Приклад: якщо x > y, то при піднесенні до квадрата (для додатних чисел) x² > y².

4. Заміна змінних: У деяких випадках зручно ввести нову змінну, щоб спростити вираз і розв’язати нерівність.

Приклади:

Приклад 1: Лінійна нерівність: 3x + 5 > 2. Тут змінна x повинна приймати значення, за яких ліва частина виразу більша за праву.
Розв’язуємо:
3x > -3
x > -1.

Приклад 2: Квадратична нерівність: x² - 4 ≤ 0. Це означає, що значення x повинні знаходитися в діапазоні, де квадрат числа не перевищує 4.
Розкладаємо ліву частину на множники: (x - 2)(x + 2) ≤ 0.
Графічний метод або метод інтервалів дає розв’язок: -2 ≤ x ≤ 2, тобто x належить відрізку [-2, 2].

Приклад 3: Дробово-раціональна нерівність:
(x-1) / (x+3) < 0 .

Знайдемо точки, у яких чисельник і знаменник дорівнюють нулю: x - 1 = 0 і x + 3 = 0 .
Розбиваємо числову вісь на інтервали (-∞, -3), (-3, 1) і (1, ∞) і досліджуємо знаки виразу.
Отримуємо, що розв’язок – проміжок x ∈ (-3; 1).