Неравенство – это математическое выражение, которое показывает соотношение между двумя величинами, используя знаки "больше" (>), "меньше" (<),
 "больше или равно" (≥) и "меньше или равно" (≤). Оно может использоваться для определения диапазона возможных значений переменной и широко
 применяется в алгебре, анализе, экономике и физике.

Основные свойства неравенств:

1. Рефлексивность: любое число всегда равно самому себе, а неравенство вида a ≥ a всегда верно.

2. Транзитивность: если a > b и b > c, то a > c.

3. Антисимметричность: если a ≥ b и b ≥ a, то a = b.

4. Аддитивное свойство: если a > b, то a + c > b + c (можно прибавлять одинаковые числа к обеим частям неравенства, и знак не изменится).

5. Мультипликативное свойство: если a > b и c > 0, то ac > bc; если c < 0, то знак неравенства меняется: ac < bc.

Основные правила преобразования неравенств:

1. Сложение и вычитание: Можно прибавлять или вычитать одно и то же число с обеих сторон неравенства, при этом знак не изменяется.
   Пример: если x + 3 > 5, то x > 2.

2. Умножение и деление: Можно умножать или делить обе стороны неравенства на одно и то же положительное число без изменения знака.
   Однако, если умножать или делить на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.
   Пример: если -2x ≤ 6, то x ≥ -3 (делим обе стороны на -2 и меняем знак).

3. Применение функций: При монотонном возрастании функции знак неравенства сохраняется, а при монотонном убывании – меняется на
    противоположный.
   Пример: если x > y, то при возведении в квадрат (для положительных чисел) x² > y².

4. Замена переменных: В некоторых случаях удобно ввести новую переменную, чтобы упростить выражение и решить неравенство.

Примеры:

Пример 1: Линейное неравенство: 3x + 5 > 2. Здесь переменная x должна принимать значения, при которых левая часть выражения больше правой.
Решая его, получаем:
3x > -3
x > -1.

Пример 2: Квадратичное неравенство: x² - 4 ≤ 0. Это означает, что значения x должны находиться в диапазоне, при котором квадрат числа не превышает 4.
 Решая это неравенство, можно разложить левую часть на множители: (x - 2)(x + 2) ≤ 0. Графический метод или метод интервалов дают решение: -2 ≤ x ≤ 2,
то есть x принадлежит отрезку [-2, 2].

Пример 3: Дробно-рациональное неравенство:
(x-1) / (x+3) < 0. 

Найдем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в ноль: x - 1 = 0 и x + 3 = 0 .
Разбиваем числовую ось на интервалы (-∞, -3), (-3, 1) и (1, ∞) и исследуем знаки выражения.
Получаем, что решение – промежуток  x ∈ (-3; 1).