Примечание. В данном уроке изложены задачи по геометрии о площади поверхности цилиндра. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен.

Задача.
Какой из цилиндров с обьемом 128π см³ имеет наименьшую полную поверхность?

Решение.
Формула нахождения объема цилиндра
V = πr² h

Поскольку объем цилиндра нам известен, то
πr²  h = 128π
откуда
r²  h = 128
h = 128 /  r² 

Площадь полной поверхности цилиндра равна площади его оснований и площади боковой поверхности. Таким образом, формула площади поверхности цилиндра будет выглядеть следующим образом:  
 S = 2πr²  + 2πrh 
где
πr² - площадь основания цилиндра (площадь круга)
2πr - длина окружности основания

Подставим значение высоты цилиндра в полученную формулу
S = 2πr²  + 2πrh 
S =  2πr²  + 2πr  * 128 /  r²   
S =  2πr²  + 256π / r

Если представить полученную формулу как функцию площади заданного в задаче цилиндра, то минимальная площадь цилиндра будет достигнута в точке экстремума данной функции. Для нахождения экстремума дифференцируем полученную функцию.
f(r) =  2πr²  + 256π / r
Формулы дифференцирования можно посмотреть в таблице производных. Получим:
f '(r) = 4πr - 256π /  r² 

Поскольку в точке экстремума производная функции равна нулю, приравняем  f '(r) к нулю и решим уравнение. 
4πr - 256π /  r²  = 0
получим
 4πr ( 1 - 64/r ) = 0
откуда
 4πr = 0 или  1 - 64/r = 0 

первый найденный корень уравнения  r = 0 отбрасываем, 
1 - 64/r = 0
r = 64

Откуда 
h = 128 /  r² 
h = 128 / 4096
h = 0.03125 или 1/32

Ответ: минимальная площадь цилиндра будет достигнута при h = 1/32 см, r =64 см